Linear Algebra and Geometry 3

Đại số Tuyến tính và Hình học 3

Không gian tích vô hướng, dạng toàn phương, ma trận đối xứng: giải quyết các bài toán nâng cao hơn; phân tích giá trị suy biến

4.9

(126 đánh giá)

4,159 học viên

Giảng viên

Hania Uscka-Wehlou

Phụ đề Việt chất lượng cao Phụ đề tiếng Anh Bán chạy Đánh giá cao

79.000đ 459.000đ -83%

✓ Xem giỏ hàng và thanh toán

Bao gồm phụ đề tiếng Việt, tiếng Anh

51.0 giờ video

201 bài giảng

Truy cập vĩnh viễn

Học trên mọi thiết bị

Cập nhật: 07/06/2026

#Data Science #Geometry #Linear Algebra #Mathematics

Bạn sẽ học được gì

Cách giải các bài toán đại số tuyến tính và hình học (minh họa bằng 144 bài toán đã giải) và lý do các phương pháp này hoạt động.

Giải các bài toán nâng cao hơn về phân tích riêng và tính trực giao so với khóa học thứ hai.

Sử dụng phép chéo hóa ma trận để giải các bài toán khác nhau từ các nhánh toán học khác (ODE, hệ động lực).

Các không gian tích vô hướng khác với R^n: không gian các hàm liên tục, không gian đa thức, không gian ma trận.

Làm việc với các khái niệm hình học như độ dài (chuẩn), khoảng cách, góc và tính trực giao trong các bối cảnh phi hình học.

Định lý Pythagoras, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức tam giác trong các không gian tích vô hướng khác nhau.

Cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn, và quá trình Gram-Schmidt trong các không gian tích vô hướng khác nhau.

Các bài toán min-max sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, Định lý Xấp xỉ Tốt nhất, nghiệm bình phương tối thiểu.

Ma trận đối xứng và các tính chất của chúng; chéo hóa trực giao: cách thực hiện và cách hiểu nó về mặt hình học.

Ma trận xác định dương/âm, ma trận không xác định; các phương pháp khác nhau để xác định tính xác định của ma trận.

Dạng toàn phương và mối liên hệ với ma trận đối xứng: tính duy nhất của sự tương ứng này và hệ quả của nó.

Hình học của dạng toàn phương trong hai và ba biến: đường cô-nic và mặt bậc hai.

Một số khái niệm từ đại số trừu tượng: nhóm, vành, trường và đẳng cấu; hiểu khái niệm không gian vectơ đẳng cấu.

Đỉnh cao của khóa học và hệ quả tự nhiên của tất cả các chủ đề khác: Phân tích Giá trị Suy biến và giả nghịch đảo.

Lưu ý: tất cả các không gian vectơ được thảo luận trong khóa học này là không gian trên R (không phải trên trường số phức), và tất cả các ma trận của chúng ta chỉ có các phần tử thực.

Yêu cầu

Toán học trung học và đại học (chủ yếu là số học, một ít Lượng giác, đa thức)

Đại số Tuyến tính và Hình học 1 (hệ phương trình, ma trận và định thức, vectơ và các tích của chúng, hình học giải tích của đường thẳng và mặt phẳng)

Đại số Tuyến tính và Hình học 2 (không gian vectơ, biến đổi tuyến tính, tính trực giao, giá trị riêng và vectơ riêng, chéo hóa)

Một số Giải tích (tùy chọn) cần thiết trong một số phần của khóa học có thể bỏ qua mà không ảnh hưởng tiêu cực đến việc học Đại số Tuyến tính của bạn, và có thể xem lại sau khi bạn đã học Giải tích: toàn bộ Mục 6 dành cho Phương trình Vi phân Thường (ODE); một số đạo hàm cơ bản...

Kiến thức cơ bản về số phức (khóa học này chứa một phần giới thiệu ngắn về số phức)

Bạn luôn được chào đón với các câu hỏi của mình. Nếu có điều gì trong bài giảng không rõ ràng, vui lòng hỏi. Tốt nhất là sử dụng Hỏi-Đáp, để tất cả các sinh viên khác có thể xem phần giải thích bổ sung của tôi về các chủ đề chưa rõ. Hãy nhớ: bạn không bao giờ đơn độc với những nghi ngờ của mình, và mọi người đều có lợi nếu...

Đối tượng phù hợp

Kỹ thuật đại học và cao đẳng

Nội dung khóa học

16 phần • 201 bài giảng

1 Giới thiệu

1 Phân tích riêng, tóm tắt lại

2 Phân tích riêng và các toán tử

3 Bài toán 1: Đối xứng đường thẳng trong mặt phẳng

4 Bài toán 2: Phép chiếu trong mặt phẳng

5 Bài toán 3: Đối xứng trong không gian 3 chiều

6 Bài toán 4: Phép chiếu trong không gian 3 chiều

7 Bài toán 5: Phép chiếu trong không gian 3 chiều

8 Một cách phát biểu khác của phân tích riêng: Phân tích phổ

9 Lũy thừa của ma trận: Hai phương pháp

10 Phân tích phổ, Bài toán 6

11 Phân tích phổ, Bài toán 7

12 Phân tích phổ, Minh họa hình học, Bài toán 8

1 Phân tích riêng, Bài toán 1

2 Phân tích riêng, Bài toán 2

3 Lũy thừa và căn, Bài toán 3

4 Lũy thừa và căn, Bài toán 4

5 Trong không gian đa thức, Bài toán 5

6 Trong không gian đa thức, Bài toán 6

7 Trong không gian ma trận, Bài toán 7

1 Bạn sẽ không thấy sự khác biệt

2 Các không gian khác nhau với cùng một cấu trúc

3 Thêm ví dụ về các không gian vectơ đẳng cấu

4 Một điều kiện cần cho các không gian vectơ đẳng cấu

5 Một điều kiện cần và đủ cho các không gian vectơ đẳng cấu

6 Tại sao bạn không thấy sự khác biệt

7 Không gian đẳng cấu: Bài toán 1

8 Không gian đẳng cấu: Bài toán 2

9 Không gian đẳng cấu: Bài toán 3

10 Không gian vectơ, trường, vành; đồng cấu vành và đẳng cấu

11 Không gian vectơ, trường, vành, Bài toán 4

12 Không gian vectơ, trường, vành, Bài toán 5

1 Liên tục so với rời rạc

2 Hai ví dụ nổi tiếng về truy hồi

3 Hệ động lực rời rạc tuyến tính

4 Hệ phương trình sai phân, Bài toán 1

5 Hệ phương trình sai phân, Bài toán 2

6 Hệ phương trình sai phân, Bài toán 3

7 Phương trình sai phân bậc cao, Bài toán 4

8 Phương trình sai phân bậc cao, Bài toán 5

9 Phương trình sai phân bậc cao, Bài toán 6

10 Ma trận Markov

11 Mỗi ma trận Markov có giá trị riêng 1

12 Vectơ trạng thái ổn định (vectơ cân bằng), Bài toán 7

13 Ma trận Markov, Bài toán 8, Nhà hàng

14 Ma trận Markov, Bài toán 9, Di cư

15 Ma trận Markov, Bài toán 10, Bầu cử

16 Hệ động lực, Bài toán 11

17 Nên đọc thêm về chủ đề này ở đâu?

1 ODE là gì và chúng ta sẽ giải quyết những loại ODE nào

2 Nghiệm của ODE tuyến tính bậc nhất với hệ số hằng

3 Hệ ODE tuyến tính bậc nhất với hệ số hằng

4 Một ví dụ rất đơn giản

5 Phương pháp

6 Hệ ODE, Bài toán 1

7 Hệ ODE, Bài toán 2

8 Hệ ODE, Bài toán 3

9 Làm thế nào để giải quyết ODE tuyến tính bậc cao?

10 Một cách nhìn khác về cùng một vấn đề

1 Giữa cụ thể và trừu tượng

2 Tích vô hướng trong Phần 1

3 Tích vô hướng và tính trực giao trong Phần 2

4 Từ R^2 đến các không gian tích vô hướng

5 Không gian tích vô hướng

6 Không gian Euclid n-chiều

7 Một nhận xét rất quan trọng về ký hiệu

8 Tích trong và tích ngoài

9 Tích vô hướng Euclid có trọng số, Bài toán 1

10 Còn nhớ ma trận chuyển vị?

11 Ma trận xác định dương

12 Dạng toàn phương và cách đọc chúng

13 Tích vô hướng ma trận trên R^n, Bài toán 2

14 Ma trận Gram, Bài toán 3

15 Ma trận Gram, Bài toán 4

16 Tích vô hướng trong không gian các hàm liên tục

17 Ma trận Gram cho một tích vô hướng trong không gian Pn của các đa thức

18 Hai tích vô hướng trên không gian đa thức Pn

19 Tích vô hướng đánh giá trên P2, Bài toán 5

20 Tích vô hướng trong không gian các ma trận m × n

21 Tích vô hướng trong không gian các ma trận vuông

22 Tích vô hướng trong không gian ma trận, Bài toán 6

23 Tích vô hướng Frobenius; Tích Hadamard của ma trận

1 Chuẩn trong không gian tích vô hướng

2 Hình học kỳ lạ trong không gian Euclid với tích vô hướng có trọng số

3 Chuẩn Frobenius của ma trận, Bài toán 1

4 Chuẩn trong không gian hàm, Bài toán 2

5 Khoảng cách trong không gian tích vô hướng

6 Khoảng cách Frobenius giữa các ma trận, Bài toán 3

7 Khoảng cách trong không gian hàm, Bài toán 4

8 Bước đầu tiên để định nghĩa góc trừu tượng

9 Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, chứng minh 1

10 Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, chứng minh 2

11 Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz trong không gian các hàm liên tục

12 Góc trong không gian tích vô hướng

13 Thêm hình học kỳ lạ: Góc trong không gian tích vô hướng, Bài toán 5

14 Góc trong không gian tích vô hướng, Bài toán 6

15 Tính trực giao trong không gian tích vô hướng

16 Tính trực giao trong không gian tích vô hướng phụ thuộc vào tích vô hướng

17 Tính trực giao trong không gian tích vô hướng, Bài toán 7

18 Bất đẳng thức tam giác là gì?

19 Bất đẳng thức tam giác trong không gian tích vô hướng

20 Định lý Pythagoras tổng quát

21 Định lý Pythagoras tổng quát, Bài toán 8

22 Định lý Pythagoras tổng quát, Bài toán 9

23 Định lý Pythagoras tổng quát, Bài toán 10

1 Khác biệt nhưng vẫn tuyệt vời!

2 Cơ sở trực chuẩn trong không gian tích vô hướng

3 Tại sao phép chuẩn hóa hoạt động giống nhau trong mọi không gian tích vô hướng?

4 Tập hợp trực chuẩn các hàm liên tục, Bài toán 1

5 Phần bù trực giao, Bài toán 2

6 Các tập hợp trực giao là độc lập tuyến tính, Bài toán 3

7 Tọa độ trong cơ sở trực giao trong không gian tích vô hướng

8 Phép chiếu và phân tích trực giao trong không gian tích vô hướng

9 Phép chiếu trực giao lên các không gian con của một không gian tích vô hướng, Bài toán 4

10 Phép chiếu trực giao lên các không gian con của một không gian tích vô hướng, Bài toán 5

11 Gram–Schmidt trong không gian tích vô hướng

12 Gram–Schmidt trong không gian tích vô hướng, Bài toán 6: Đa thức Legendre

13 Gram–Schmidt trong không gian tích vô hướng, Bài toán 7

14 Tính toán tích vô hướng dễ dàng trong cơ sở trực chuẩn, Bài toán 8

1 Trong phần này

2 Min-max, Bài toán 1

3 Min-max, Bài toán 2

4 Min-max, Bài toán 3

5 Min-max, Bài toán 4

6 Min-max, Bài toán 5

7 Một cách nhìn khác về phép chiếu trực giao như các biến đổi ma trận

8 Phép chiếu trực giao, Bài toán 6

9 Phép chiếu trực giao, Bài toán 7

10 Khoảng cách ngắn nhất từ một không gian con

11 Khoảng cách ngắn nhất, Bài toán 8

12 Khoảng cách ngắn nhất, Bài toán 9

13 Khoảng cách ngắn nhất, Bài toán 10

14 Khả năng giải được của hệ phương trình theo không gian cột

15 Nghiệm bình phương tối thiểu và vectơ phần dư

16 Bốn không gian ma trận cơ bản và phương trình chuẩn tắc

17 Bình phương tối thiểu, Bài toán 11, bằng phương trình chuẩn tắc

18 Bình phương tối thiểu, Bài toán 11, bằng phép chiếu

19 Đường thẳng khớp bình phương tối thiểu, Bài toán 12

20 Bình phương tối thiểu, khớp một đường cong bậc hai với dữ liệu, Bài toán 13

1 Mối liên hệ giữa ma trận đối xứng và dạng toàn phương, Bài toán 1

2 Một số tính chất của ma trận đối xứng

3 Vectơ riêng t

4 Complex numbers: a brief repetition

5 Eigenvalues for a (real) symmetric matrix are real

6 Orthogonal diagonalization

7 If a matrix is orthogonally diagonalizable, it is symmetric

8 The Spectral Theorem: Each symmetric matrix is orthogonally diagonalizable

9 Orthogonal diagonalization: how to do it

10 Orthogonal diagonalization, Problem 2

11 Spectral decomposition for symmetric matrices, Problem 3

12 Orthogonal diagonalization, Problem 4

13 Orthogonal diagonalization, Problem 5

14 Orthogonal diagonalization, Problem 6

15 Orthogonal diagonalization, Problem 7

16 Spectral decomposition, Problem 8

17 Pos and neg definite matrices, semidefinite and indefinite matrices, Problem 9

18 The wonderful strength of an orthogonally diagonalized matrix

19 Three tests for definiteness of symmetric matrices, Problem 10

20 Symmetric square roots of symmetric positive definite matrices; singular values

1 The correspondence between quadratic forms and symmetric matrices is 1-to-1

2 Completing the square is not unique

3 What kind of questions we want to answer

4 163 Quadratic forms in two variables, Problem 1.

5 Quadratic forms in two variables, Problem 2

6 Đường cong bậc hai, tổng quan

7 Đường cong bậc hai dưới dạng mặt cắt cônic

8 Đường cong bậc hai theo khoảng cách; khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ

9 Trục chính; Khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ, Bài toán 3

10 Phân loại dạng toàn phương hai biến

11 Phân loại đường cong, Bài toán 4

12 Phân loại đường cong, Bài toán 5

13 Vai trò khác nhau của ma trận đối xứng (quay lại Video 150 và 168), Bài toán

14 Phân loại đường cong, Bài toán 7

15 Tổng quan về mặt bậc hai

16 Một số hình ảnh minh họa đẹp về mặt bậc hai

17 Mặt bậc hai, khoảng cách ngắn nhất, Bài toán 8

18 Mặt bậc hai, Bài toán 9

19 Mặt bậc hai, Bài toán 10

20 Định luật quán tính cho dạng toàn phương; Chữ ký của một dạng, Bài toán 11

21 Bốn phương pháp xác định tính xác định dấu; Bài toán 12

1 Lý thuyết cho phần này

2 Tối ưu hóa có ràng buộc, Bài toán 1

3 Tối ưu hóa có ràng buộc, Bài toán 2

4 Tối ưu hóa có ràng buộc, Bài toán 3

5 Tối ưu hóa có ràng buộc, Bài toán 4

1 Tất cả các con đường đều dẫn chúng ta đến SVD

2 Tại sao chúng ta cần SVD?

3 Chúng ta thực sự biết rất nhiều về AT A cho bất kỳ ma trận chữ nhật A nào

4 Sự thật mới về AT A: giá trị riêng và vector riêng. Giá trị suy biến của A

5 Cơ sở trực chuẩn chỉ chứa vector riêng của các tích ma trận nhất định

6 Phân tích giá trị suy biến với chứng minh và diễn giải hình học

7 SVD, phân tích giá trị suy biến rút gọn, Bài toán 1

8 SVD, Bài toán 2

9 Thêm sự thật mới về AT A: sáu phát biểu tương đương

10 Bình phương tối thiểu, SVD và ma trận giả nghịch đảo (nghịch đảo Moore–Penrose)

11 Ma trận giả nghịch đảo, Bài toán 3

12 SVD và Định lý Cơ bản của Đại số Tuyến tính

1 Đại số Tuyến tính và Hình học, Tổng kết

2 Vậy, tiếp theo là gì?

3 Lời cuối

1 Bài giảng thưởng

Giới thiệu khóa học

Linear Algebra and Geometry 3

Inner product spaces, quadratic forms, and more advanced problem solving

Chapter 1: Eigendecomposition, spectral decomposition

S1. Introduction to the course

S2. Geometrical operators in the plane and in the 3-space

You will learn: using eigenvalues and eigenvectors of geometrical operators such as symmetries, projections, and rotations in order to get their standard matrices; you will also strengthen your understanding of geometrical transformations.

S3. More problem solving; spaces different from R^n

You will learn: work with eigendecomposition of matrices for linear operators on various vector spaces.

S4. Intermezzo: isomorphic vector spaces

You will learn: about certain similarities between different spaces and how to measure them.

S5. Recurrence relations, dynamical systems, Markov matrices

You will learn: more exciting applications of eigenvalues and diagonalization.

S6. Solving systems of linear ODE, and solving higher order ODE

You will learn: solve systems of linear ODE and linear ODE of higher order with help of diagonalization.

Chapter 2: Inner product spaces

S7. Inner product as a generalization of dot product

You will learn: about other products with similar properties as dot product, and how they can look in different vector spaces.

S8. Norm, distance, angles, and orthogonality in inner product spaces

You will learn: how to define geometric concepts in non-geometric setups.

S9. Projections and Gram-Schmidt process in various inner product spaces

You will learn: apply Gram-Schmidt process in inner product spaces different from R^n (which were already covered in Part 2); work with projections on subspaces.

S10. Min-max problems, best approximations, and least squares

You will learn: solve some simple min-max problems with help of Cauchy-Schwarz inequality, find the shortest distance to subspaces in IP spaces, handle inconsistent systems of linear equations.

Chapter 3: Symmetric matrices and quadratic forms

S11. Diagonalization of symmetric matrices

You will learn: about various nice properties of symmetric matrices, and about orthogonal diagonalization.

S12. Quadratic forms and their classification

You will learn: how to describe (geometrically) and recognise (from their equation) quadratic curves and surfaces.

S13. Constrained optimization

You will learn: how to determine the range of quadratic forms on (generalized) unit spheres in R^n.

Chapter 4: The Grand Finale

S14. Singular value decomposition

You will learn: about singular value decomposition: how it works and why it works; about pseudo-inverses.

S15. Wrap-up Linear Algebra and Geometry

Make sure that you check with your professor what parts of the course you will need for your final exam. Such things vary from country to country, from university to university, and they can even vary from year to year at the same university.

A detailed description of the content of the course, with all the 200 videos and their titles, and with the texts of all the 144 problems solved during this course, is presented in the resource file

“001 List_of_all_Videos_and_Problems_Linear_Algebra_and_Geometry_3.pdf”

under Video 1 ("Introduction to the course"). This content is also presented in Video 1.