Linear Algebra and Geometry 2

Đại số Tuyến tính và Hình học 2

Nhiều hơn về ma trận; không gian vectơ trừu tượng và cơ sở của chúng; các phép biến đổi tuyến tính được minh họa sinh động với MANIM

4.9

(303 đánh giá)

5,398 học viên

Giảng viên

Hania Uscka-Wehlou

Phụ đề Việt chất lượng cao Phụ đề tiếng Anh Bán chạy Đánh giá cao

79.000đ 419.000đ -81%

✓ Xem giỏ hàng và thanh toán

Bao gồm phụ đề tiếng Việt, tiếng Anh

47.0 giờ video

215 bài giảng

Truy cập vĩnh viễn

Học trên mọi thiết bị

Cập nhật: 07/06/2026

#Linear Algebra #Mathematics #Matrix Transformations #Vector Spaces

Bạn sẽ học được gì

Cách giải các bài toán trong đại số tuyến tính và hình học (minh họa với 153 bài toán đã giải) và lý do các phương pháp này hoạt động.

Các khái niệm quan trọng về không gian vectơ, như cơ sở, số chiều, tọa độ và không gian con.

Tổ hợp tuyến tính, sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính trong các không gian vectơ khác nhau, và cách diễn giải chúng về mặt hình học trong R^2 và R^3.

Cách tính lại tọa độ từ cơ sở này sang cơ sở khác, cả với sự trợ giúp của ma trận chuyển cơ sở và bằng cách giải hệ phương trình.

Không gian hàng, không gian cột và không gian không của ma trận, và việc sử dụng các khái niệm này để giải các loại bài toán khác nhau.

Phép biến đổi tuyến tính: các cách nhìn khác nhau về chúng (như phép biến đổi ma trận, như phép biến đổi bảo toàn tổ hợp tuyến tính).

Cách hợp thành các phép biến đổi tuyến tính và cách tính ma trận chuẩn tắc của chúng trong các cơ sở khác nhau; tính toán hạt nhân và ảnh của các phép biến đổi.

Hiểu mối liên hệ giữa ma trận và phép biến đổi tuyến tính, và xem xét các khái niệm khác nhau phù hợp với mối liên hệ này.

Làm việc với các phép biến đổi hình học khác nhau trong R^2 và R^3, có khả năng tính ma trận của chúng và giải thích cách các phép biến đổi này hoạt động.

Hiểu khái niệm phép đẳng cự và có thể đưa ra một số ví dụ, đồng thời phát biểu mối liên hệ của chúng với ma trận trực giao.

Biến đổi bất kỳ cơ sở nào cho một không gian con của R^n thành một cơ sở trực chuẩn của cùng không gian con đó với sự trợ giúp của Quá trình Gram-Schmidt.

Tính giá trị riêng, vectơ riêng và không gian riêng cho một ma trận cho trước, và đưa ra diễn giải hình học của các khái niệm này.

Xác định xem một ma trận cho trước có chéo hóa được hay không, và thực hiện chéo hóa nếu có thể.

Hiểu mối quan hệ giữa tính chéo hóa được và số chiều của các không gian riêng của một ma trận.

Sử dụng phép chéo hóa để giải bài toán liên quan đến việc tính lũy thừa của ma trận vuông, và lý giải tại sao phương pháp này hoạt động.

Có thể phát biểu và sử dụng Định lý Ma trận Khả nghịch và nhận biết các tình huống phù hợp để kiểm tra bằng định thức (và những tình huống không phù hợp).

Sử dụng định thức Wronskian để xác định xem một tập hợp các hàm trơn có độc lập tuyến tính hay không; có khả năng tính định thức Vandermonde.

Làm việc với các không gian vectơ khác nhau, ví dụ như R^n, không gian tất cả các ma trận n x m, không gian đa thức, không gian các hàm trơn.

Yêu cầu

Đại số Tuyến tính và Hình học 1 (hệ phương trình, ma trận và định thức, vectơ và các tích của chúng, hình học giải tích của đường thẳng và mặt phẳng)

Toán học trung học phổ thông và đại học (chủ yếu là số học, một ít Lượng giác, đa thức)

Một số kiến thức Giải tích cơ bản (được sử dụng trong một số ví dụ có thể bỏ qua mà không ảnh hưởng tiêu cực đến việc học Đại số Tuyến tính của bạn, và sẽ được xem lại sau khi bạn đã học Giải tích: một số đạo hàm đơn giản cần thiết trong Video 38, 39, 40, 132, 134, 136; hàm liên tục được đề cập trong Video ...)

Kiến thức cơ bản về số phức (được sử dụng trong một ví dụ ở Video 8)

Bạn luôn được chào đón với các câu hỏi của mình. Nếu có điều gì trong bài giảng chưa rõ, vui lòng hỏi. Tốt nhất là sử dụng phần Hỏi-Đáp, để tất cả các sinh viên khác có thể xem phần giải thích bổ sung của tôi về các chủ đề chưa rõ. Hãy nhớ: bạn không bao giờ đơn độc với những thắc mắc của mình, và sẽ có lợi cho mọi người nếu...

Đối tượng phù hợp

Kỹ thuật đại học và cao đẳng

Nội dung khóa học

17 phần • 215 bài giảng

1 Giới thiệu khóa học

1 Từ trừu tượng đến cụ thể

2 Từ cụ thể đến trừu tượng

3 Nguyên mẫu của chúng ta

4 Định nghĩa chính thức của không gian vectơ Ví dụ 1: Rn

5 Không gian vectơ, Ví dụ 2: Ma trận m × n với phần tử thực

6 Không gian vectơ, Ví dụ 3: Hàm nhận giá trị thực trên một khoảng nào đó

7 Không gian vectơ, Ví dụ 4: Số phức

8 Tính chất hủy

9 Hai tính chất của không gian vectơ; Định nghĩa hiệu

10 Một số tính chất của không gian vectơ

11 Không gian con là gì

12 Tất cả các không gian con trong R2

13 Tất cả các không gian con trong R3

14 Không gian con, Bài toán 1

15 Không gian con, Bài toán 2

16 Không gian con, Bài toán 3

17 Không gian con, Bài toán 4

1 Ví dụ thống nhất của chúng ta

2 Tổ hợp tuyến tính trong Phần 1

3 Tổ hợp tuyến tính, nội dung mới. Ví dụ 1

4 Tổ hợp tuyến tính Ví dụ 2

5 Tổ hợp tuyến tính, Bài toán 1

6 Tổ hợp tuyến tính, Bài toán 2

7 Span là gì, định nghĩa và một số ví dụ

8 Span, Bài toán 3

9 Span, Bài toán 4

10 Span, Bài toán 5

11 Chúng ta muốn nói gì bởi "tầm thường"?

12 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

13 Hình học của độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

14 Một nhận xét quan trọng về độc lập tuyến tính trong Rn

15 Các bộ sinh độc lập tuyến tính, Bài toán 6

16 Độc lập tuyến tính trong tập hợp các ma trận, Bài toán 7

17 Độc lập tuyến tính trong C^0[−∞, ∞], Bài toán 8

18 Định thức Vandermonde và đa thức

19 Độc lập tuyến tính trong C^∞(R), Bài toán 9

20 Định thức Wronskian và độc lập tuyến tính trong C∞(R)

21 Độc lập tuyến tính trong C^∞(R), Bài toán 10

22 Độc lập tuyến tính trong C^∞(R), Bài toán 11

1 Cơ sở và số chiều là gì?

2 Các cơ sở trong không gian 3 chiều, Bài toán 1

3 Các cơ sở trong mặt phẳng và trong không gian 3 chiều

4 Các cơ sở trong không gian 3 chiều, Bài toán 2

5 Các cơ sở trong không gian 4 chiều, Bài toán 3

6 Các cơ sở trong không gian 4 chiều, Bài toán 4

7 Các cơ sở trong không gian đa thức, Bài toán 5

8 Tọa độ đối với một cơ sở

9 Tọa độ đối với một cơ sở là duy nhất

10 Tọa độ trong ví dụ thống nhất của chúng ta

11 Số chiều của một không gian con, Bài toán 6

12 Các cơ sở trong một không gian hàm, Bài toán 7

1 Tọa độ trong các cơ sở khác nhau

2 Dễ dàng tính lại từ cơ sở chính tắc

3 Ma trận chuyển cơ sở, cách dẫn xuất

4 Ví dụ trước với ma trận chuyển cơ sở

5 Ví dụ thống nhất của chúng ta

6 Một ví dụ đơn giản nữa và các cơ sở

7 Hai cơ sở không chính tắc, Phương pháp 1

8 Hai cơ sở không chính tắc, Phương pháp 2

9 Làm thế nào để tính lại tọa độ giữa hai cơ sở không chính tắc? Một thuật toán

10 Đổi cơ sở, Bài toán 1

11 Đổi cơ sở, Bài toán 2

12 Đổi cơ sở, Bài toán 3

13 Đổi cơ sở, Bài toán 4

14 Đổi cơ sở, Bài toán 5

15 Đổi sang một cơ sở trực chuẩn trong R^2

1 Bạn sẽ học gì trong phần này

2 Không gian hàng và không gian cột của một ma trận

3 Các phép biến đổi hàng sơ cấp làm gì với các không gian hàng?

4 Các phép biến đổi hàng sơ cấp làm gì với các không gian cột?

5 Không gian cột, Bài toán 2

6 Xác định một cơ sở cho một span, Bài toán 3

7 Xác định một cơ sở cho một span bao gồm một tập con của các vectơ cho trước, Bài toán 4

8 Xác định một cơ sở cho một span bao gồm một tập con của các vectơ cho trước, Bài toán 5

9 Một bài khó: Biến hàng thành cột, Bài toán 6

10 Một cơ sở trong không gian đa thức, Bài toán 7

11 Không gian không của một ma trận

12 Cách tìm không gian không, Bài toán 8

13 Không gian không, Bài toán 9

14 Không gian không, Bài toán 10

1 Hạng của một ma trận

2 Số chiều không gian không

3 Mối quan hệ giữa hạng và số chiều không gian không

4 Mối quan hệ giữa hạng và số chiều không gian không, Bài toán 1

5 Mối quan hệ giữa hạng và số chiều không gian không, Bài toán 2

6 Mối quan hệ giữa hạng và số chiều không gian không, Bài toán 3

7 Phần bù trực giao, Bài toán 4

8 Bốn không gian ma trận cơ bản

9 Định lý Cơ bản của Đại số Tuyến tính và Gilbert Strang

1 Chúng ta muốn nói gì bởi "tuyến tính"?

2 Một số thuật ngữ

3 Làm thế nào để nghĩ về các hàm từ Rn đến Rm?

4 Khi nào một hàm từ Rn đến Rm là tuyến tính? Cách tiếp cận 1

5 Khi nào một hàm từ Rn đến Rm là tuyến tính? Cách tiếp cận 2

6 Khi nào một hàm từ Rn đến Rm là tuyến tính? Cách tiếp cận 3

7 Cách tiếp cận 2 và 3 là tương đương

8 Phép biến đổi ma trận, Bài toán 1

9 Ảnh, hạt nhân và toán tử ngược, Bài toán 2

10 Cơ sở cho ảnh, Bài toán 3

11 Hạt nhân, Bài toán 4

12 Ảnh và hạt nhân, Bài toán 5

13 Toán tử ngược, Bài toán 6

14 Phép biến đổi tuyến tính, Bài toán 7

15 Hạt nhân và hình học, Bài toán 8

16 Phép biến đổi tuyến tính, Bài toán 9

1 Ví dụ thống nhất của chúng ta: phép biến đổi tuyến tính và đổi cơ sở

2 Một ví dụ với hạt nhân không tầm thường

3 Phép đối xứng trục trong mặt phẳng

4 Phép chiếu lên một vectơ cho trước, Bài toán 1

5 Đối xứng qua đường thẳng y = kx, Bài toán 2

6 Phép quay 90 độ quanh gốc tọa độ

7 Phép quay một góc α quanh gốc tọa độ

8 Phép giãn, phép nén, phép co giãn và phép trượt

9 Phép đối xứng mặt phẳng trong không gian 3 chiều, Bài toán 3

10 Phép chiếu lên các mặt phẳng trong không gian 3 chiều, Bài toán 4

11 Đối xứng qua một mặt phẳng cho trước, Bài toán 5

12 Phép chiếu lên một mặt phẳng cho trước, Bài toán 6

13 Phép quay trong không gian 3 chiều, Bài toán 7

1 Chúng ta sẽ thảo luận loại tính chất nào

2 Điều gì xảy ra với không gian con vectơ và không gian con affine dưới phép biến đổi tuyến tính

3 Các đường thẳng song song biến thành các đường thẳng song song, Bài toán 1

4 Biến đổi của các đường thẳng, Bài toán 2

5 Sự thay đổi diện tích (thể tích) dưới các toán tử tuyến tính trong mặt phẳng (không gian)

6 Sự thay đổi diện tích dưới các phép biến đổi tuyến tính, Bài toán 3

7 Hợp thành của các phép biến đổi tuyến tính

8 Cách thu được ma trận chuẩn tắc của một hợp thành các phép biến đổi tuyến tính

9 Tại sao nó hoạt động?

10 Hợp thành của các phép biến đổi tuyến tính, Bài toán 4

11 Hợp thành của các phép biến đ

1 Linear transformations between two linear spaces

2 Linear transformations, Problem 1

3 Linear transformations, Problem 2

4 Linear transformations, Problem 3

5 Linear transformations, Problem 4

6 Linear transformations, Problem 5

7 Linear transformations in different bases, Problem 6

8 Linear transformations in different bases

9 Linear transformations in different bases, Problem 7

10 Linear transformations in different bases, Problem 8

11 Linear transformations in different bases, Problem 9

12 Linear transformations, Problem 10

13 Linear transformations, Problem 11

1 Dot product and orthogonality until now

2 Orthonormal bases are awesome

3 Orthonormal bases are awesome, Reason 1: distance

4 Orthonormal bases are awesome, Reason 2: dot product

5 Orthonormal bases are awesome, Reason 3: transition matrix

6 Orthonormal bases are awesome, Reason 4: coordinates

7 Coordinates in ON bases, Problem 1

8 Coordinates in orthogonal bases, Theorem and proof

9 Each orthogonal set is linearly independent, Proof

10 Coordinates in orthogonal bases, Problem 2

11 Orthonormal bases, Problem 3

12 Projection Theorem 1

13 Projection Theorem 2

14 Projection Formula, an illustration in the 3-space

15 Calculating projections, Problem 4

16 Calculating projections, Problem 5

17 Gram–Schmidt Process

18 Gram–Schmidt Process, Our unifying example

19 Gram–Schmidt Process, Problem 6

20 Quy trình Gram–Schmidt, Bài toán 7

1 Tích của một ma trận và ma trận chuyển vị của nó là ma trận đối xứng

2 Định nghĩa và ví dụ về ma trận trực giao

3 Hình học của ma trận trực giao cấp 2x2

4 Một ví dụ ma trận 3x3

5 Các công thức hữu ích cho các chứng minh sắp tới

6 Tính chất 1: Định thức của mỗi ma trận trực giao là 1 hoặc −1

7 Tính chất 2: Mỗi ma trận trực giao A đều khả nghịch và A−1 cũng trực giao

8 Tính chất 3: Các cột và hàng trực chuẩn

9 Tính chất 4: Ma trận trực giao là ma trận chuyển cơ sở giữa các cơ sở trực chuẩn

10 Tính chất 5: Bảo toàn khoảng cách và góc

11 Tính chất 6: Tích của các ma trận trực giao là ma trận trực giao

12 Ma trận trực giao, Bài toán 1

13 Ma trận trực giao, Bài toán 2

1 Khóa học cấp tốc về phân tích đa thức thành nhân tử

2 Giá trị riêng và vector riêng, các thuật ngữ

3 Trình tự định nghĩa, trình tự tính toán

4 Giá trị riêng và vector riêng theo góc nhìn hình học

5 Giá trị riêng và vector riêng, Bài toán 1

6 Cách tính giá trị riêng: Đa thức đặc trưng

7 Cách tính vector riêng

8 Tìm giá trị riêng và vector riêng: Ngắn gọn và súc tích

9 Giá trị riêng và vector riêng cho các ví dụ từ Video 180

10 Giá trị riêng và vector riêng, Bài toán 3

11 Giá trị riêng và vector riêng, Bài toán 4

12 Giá trị riêng và vector riêng, Bài toán 5

13 Giá trị riêng và vector riêng, Bài toán 6

14 Giá trị riêng và vector riêng, Bài toán 7

1 Tại sao bạn nên yêu thích ma trận đường chéo

2 Ma trận đồng dạng

3 Quan hệ đồng dạng của ma trận là một quan hệ tương đương (RST)

4 Các tính chất chung của các ma trận đồng dạng

5 Ma trận chéo hóa được

6 Cách chéo hóa một ma trận, một công thức nấu ăn

7 Chéo hóa ma trận yêu thích của chúng ta

8 Không gian riêng; bội hình học và bội đại số của giá trị riêng

9 Không gian riêng, Bài toán 2

10 Các vector riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính

11 Một điều kiện đủ, nhưng không cần thiết, để chéo hóa được

12 Điều kiện cần và đủ để chéo hóa được

13 Khả năng chéo hóa, Bài toán 3

14 Khả năng chéo hóa, Bài toán 4

15 Khả năng chéo hóa, Bài toán 5

16 Khả năng chéo hóa, Bài toán 6

17 Khả năng chéo hóa, Bài toán 7

18 Lũy thừa của ma trận

19 Lũy thừa của ma trận, Bài toán 8

20 Chéo hóa, Bài toán 9

21 Hé lộ trước về khóa học tiếp theo; chéo hóa trực giao

1 Đại số Tuyến tính và Hình học 2, Tổng kết

2 Vâng, sẽ có Phần 3!

3 Lời cuối

1 Bài giảng thưởng

Giới thiệu khóa học

Linear Algebra and Geometry 2

Much more about matrices; abstract vector spaces and their bases

Chapter 1: Abstract vector spaces and related stuff

S1. Introduction to the course

S2. Real vector spaces and their subspaces

You will learn: the definition of vector spaces and the way of reasoning around the axioms; determine whether a subset of a vector space is a subspace or not.

S3. Linear combinations and linear independence

You will learn: the concept of linear combination and span, linearly dependent and independent sets; apply Gaussian elimination for determining whether a set is linearly independent; geometrical interpretation of linear dependence and linear independence.

S4. Coordinates, basis, and dimension

You will learn: about the concept of basis for a vector space, the coordinates w.r.t.\ a given basis, and the dimension of a vector space; you will learn how to apply the determinant test for determining whether a set of n vectors is a basis of R^n.

S5. Change of basis

You will learn: how to recalculate coordinates between bases by solving systems of linear equations, by using transition matrices, and by using Gaussian elimination; the geometry behind different coordinate systems.

S6. Row space, column space, and nullspace of a matrix

You will learn: concepts of row and column space, and the nullspace for a matrix; find bases for span of several vectors in R^n with different conditions for the basis.

S7. Rank, nullity, and four fundamental matrix spaces

You will learn: determine the rank and the nullity for a matrix; find orthogonal complement to a given subspace; four fundamental matrix spaces and the relationship between them.

Chapter 2: Linear transformations

S8. Matrix transformations from R^n to R^m

You will learn: about matrix transformations: understand the way of identifying linear transformations with matrices (produce the standard matrix for a given transformation, and produce the transformation for a given matrix); concepts: kernel, image and inverse operators; understand the link between them and nullspace, column space and inverse matrix.

S9. Geometry of matrix transformations on R^2 and R^3

You will learn: about transformations such as rotations, symmetries, projections and their matrices; you will learn how to illustrate the actions of linear transformations in the plane.

S10. Properties of matrix transformations

You will learn: what happens with subspaces and affine spaces (points, lines and planes) under linear transformations; what happens with the area and volume; composition of linear transformations as matrix multiplication.

S11. General linear transformations in different bases

You will learn: solving problems involving linear transformations between two vector spaces; work with linear transformations in different bases.

Chapter 3: Orthogonality

S12. Gram-Schmidt Process

You will learn: about orthonormal bases and their superiority above the other bases; about orthogonal projections on subspaces to R^n; produce orthonormal bases for given subspaces of R^n with help of Gram-Schmidt process.

S13. Orthogonal matrices

You will learn: definition and properties of orthonormal matrices; their geometrical interpretation.

Chapter 4: Intro to eigendecomposition of matrices

S14. Eigenvalues and eigenvectors

You will learn: compute eigenvalues and eigenvectors for square matrices with real entries; geometric interpretation of eigenvectors and eigenspaces.

S15. Diagonalization

You will learn: to determine whether a given matrix is diagonalizable or not; diagonalize matrices and apply the diagonalization for problem solving (the powers of matrices).

S16. Wrap-up Linear Algebra and Geometry 2

You will learn: about the content of the third course.

Make sure that you check with your professor what parts of the course you will need for your final exam. Such things vary from country to country, from university to university, and they can even vary from year to year at the same university.

A detailed description of the content of the course, with all the 214 videos and their titles, and with the texts of all the 153 problems solved during this course, is presented in the resource file

"001 List_of_all_Videos_and_Problems_Linear_Algebra_and_Geometry_2.pdf”

under Video 1 ("Introduction to the course"). This content is also presented in Video 1.